附录J 以图形表示一些国际贸易问题（1/2）
①这个附录附属于第三编第八章。其中很多地方原想作为国际贸易著作中的一部分附录，这项工作大部分在1869—1873年业已完成。但以后我从事于一项工作，即至少要在抽象理论方面明确地估计国家的需求弹性，及一国的国际贸易对该国的直接总净利得。由于这些特殊情况，现在这个附录，即1879年由私人刊行并流传于国内外经济学者之间的那份手稿，稍加修改重印于此。
本附录中的一些曲线图曾得到我的允许，由潘陶里奥尼教授在他1889年出版的《纯经济学原理》中重印过，这部书已有英译本。在1889年奥斯培兹和莱本所著的影响很大的《物价理论》中曾发现他们自己所画出的曲线图颇类似我的曲线图。参阅莱本在《国民经济杂志》第七卷中的长注解。还可参考《经济学杂志》中埃奇沃思一系列的出色论文，以及坎宁安爵士的《几何政治经济学》。
1．决定曲线形状的条件，这些曲线用来表示国际贸易供求的各种情况及其与国际价值的关系。
把第三编第六章里的表格重印于此，并作为我们研究的起点。对于那里已经解释过的第（2）栏数字何以渐增，和第（4）栏数字何以渐减，不需在此重复解释；但当然既需要以各栏中的数字来解释，也需要以这里的图形来解释。
把下表用图来表示，以沿ox的距离代表e的包数，以一英寸的尺度代表100，000包；并以沿oy的距离以同样的尺度代表g的包数。画一称为e曲线的oe代表e愿意贸易的条件。这样，假如p是沿这条曲线运动的一点，而pm永远是垂直于ox所画的一条线，这样，则当om连续地代表第（1）栏的数字时，pm即代表第（3）栏中的相应数字。因此，当om为半英寸，代表e的50，000包时，pm将是十分之二英寸，代表g的20，000包。当p达到a点时，p与oy的距离将是十分之九英寸，代表e的90，000包；而其与ox的距离将是稍多于十分之七英寸，代表g的70，000包。
同样，画og（亦即g曲线）代表g愿意贸易的条件。假如p沿着og移动，同时画pm永远垂直于ox，那么，当om代表第（1）栏的连续数字时，mp即代表第（5）栏的相应数字。当om为十分之三英寸，代表e的30，000包时，pm将稍多于十分之四英寸，代表g的42，900包。当p达到a点时，om和pm将各等于ob和ab.oe和og的交点可称之为均衡点。
2．以图形表示各种正常条件下的国际需求弹性。
定理1.关于oe可能有的形状的每一说明，都有相应的关于og可能有的形状的同样说明；但是在前一说明中在哪里提到ox，则在后一说明中即须在哪里提到oy，反之亦然；当在前一说明中提到水平直线时，则在后一说明中必将提到垂直直线，反之亦然。把有关oe的图形画于薄纸上，朝着光线举起来，把纸的反面对着眼睛，同时令oy指向右方，就象是一个新的ox一样，而原来的ox就成了新的oy；这样，有关oe的解释即可一字不变地用于og，尽管oe的形状正常，但可假设og有各种形状。
oe和og的形状都不正常所表示的那种情况，是可能出现的，当两个垄断者只彼此进行贸易时就会出现这种情况。关于这种情况，我们在本附录的结尾稍加叙述；但它和国际贸易的实际问题似乎并没有什么关系。现在我们即假定og的形状为正常。
两种曲线形状变动的可能限度都一样；但在任何特殊情况下，两种曲线可能相差很远。例如，假如e有某些重要输出品对g几乎是不可缺少的东西，而g却没有e所不可缺少的东西，这样则og在o的附近将为近乎垂直的形状，而oe在o的附近却不会成为近乎水平的形状。这种情况可由第二图来表示。
这个图和第一图一样，代表国际贸易的一般（或正常）情况，在这种情况下，没有一国急切地需要另一国的大部分输入品；同时每一国的需求在接近均衡点的地方都是很富于弹性的。正如第三编第八章中所说过的，这是和现代国际贸易具体问题唯一最有关系的情况。因为事实上一个其输出品为各处所大量需求的国家，只要国际市场上的汇票和其他信用工具能充分起作用，它就可以从别的地方得到同价值的输入品。
但还有另外一种“特殊需求类型”，在这种类型下，一国的外货市场可能如此地不富于弹性，以致中常的供给就会导致供给严重过剩，进一步增加供给就会迫使外国货以递减的收益在市场上出售。第三图的oe形状即表示这种情况。
在实际的正常贸易情况下，oe不可能弯曲到垂直的地步；同时og也不可能弯曲到水平的地步。我们可用定义的方式把这一点更简单地讲一下，因为它在别的地方还有用处：当曲线的任何一部分呈现这样的方向，使沿它运动的点离开ox，也离开oy，则该部分曲线称为正倾斜。相反地，当曲线的任何一部分呈现这样的方向，使沿它运动的点远离ox，但却接近oy时，则该部分曲线称为负倾斜。
因此我们得到：
定理2.在正常需求类型（但不是特别需求类型）下，每一条曲线全部都是正倾斜。
在特殊供给类型下，e包的数量被假定为能够迅速而大量地增加，这是由于随着e的输出贸易的增加，它的生产经济有很大发展的缘故。在这种情形下，可以想象g愿意按名义上变动的不利于e的交换比率获得e所增加的数量，因为这种名义上的变动能使它以自己劳动和资本所生产的单位产品来换它愿意得到的货物增加量。但这种情况和实际可能性和实际应用都有很大的出入，因此现在可以暂不提及，留待本附录结尾时研究。
定理3.在正常和特殊需求类型下，假如p是沿oe运动的一点，并画pm垂直于ox，则pm每有增加，pm对om的比率以及pom的角度亦随之增加。①因此：
①当e的oa包交换g的ab包时．自然e所得到的输入条件在数学上是由aob的正切来衡量，而g所得到的条件是由aob的余切来衡量。
定理4.在正常和特殊类型下，若p是oe上的任何一点，则在oe上o与p之间那部分的每一点，必在op直线之下；而在oe其余部分的每一点，必在op直线延长的部分之上。同样，若p是og上的任何一点，则在og上o与p之间那一部分的每一点，必在op线的左边，而在og其余部分的每一点，必在op直线延长部分的右边。因此这种曲线不能经过o而割直线两次。
我们晓得，假如g在e出售的包数很少，它将会在有利于g的条件下售出。因此，当pm较小时，pm对om的比率亦较小；而由o沿oe移动的点最初亦较接近于ox.同样，由o沿og移动的点最初亦较接近于oy，因此：
定理5.在正常和特殊需求类型下，毗连o的oe那一部分必在毗连o的og那一部分之下。
在已知的条件下，任何在e能售出的g包某一数量的总购买力为已知；同时在该购买力下e能生产的包数亦为已知。因此oe不能象第四图那样向ox弯曲。因为，假如这样的话，就暗示：g的ab包的售价等于e生产ob包的费用；同时g的cd包（与g的ab包一样）的售价恰等于e生产od包的费用。但这是不可能的。因此我们得到一个能普遍运用的定理；不象前两个那样依赖于定理3了。
定理6.在任何情形下，oe不能被一个水平线相割两次。同样，og不能被一个垂直线相割两次。
让我们再来探讨属于正常类型曲线，而不属于特殊类型曲线的一些法则。就正常类型（但不就特殊类型）而言，我们假定，在e每年出售的g包数量每有增加，就增加了出售的全部收入，从而增加了与它交换的e包的输出数量。换言之，若自oy任何一点n，画出np与oy成直角，与oe曲线相遇于p，则on愈大，np也愈大。
但在以第四图为代表的特殊类型下，当n沿oy从o移动时，虽然最初np随着on的增加而增加，可是当n达到某一点时（如第四图中的v），曲线和ox的距离即停止增加而开始减少，从而曲线也向着ox弯曲。这些情况和og的相应结果可说明如下：
定理7.在正常类型下，oe不能和同一垂直线相割两次，但在特殊需求类型中则可能。同样，在正常类型下，og不能和同一水平线相割两次，但在特殊需求类型中则可能。
如a为两曲线的交点（如第一图），则（根据定理4）ae必完全在oa的延长部分之上；而ag必完全在oa的延长部分之右；因此，ae和ag不能再相割。ae也不能与在o和a之间的og那一部分相割。因为根据定理6，o和a之间的og那一部分必完全在通过a的垂直线的左边；同时根据定理7，ae必全在该直线的右边。同样，ag不能与位于o与a之间的oe那一部分相割。所以oe和og除在o和a之外不能相遇。因此我们得出：
定理8.在正常类型下，oe和og不能相割于一点以上（除o之外）；但可以想象，在特殊需求类型下是可能的。
但正常类型是有实际意义的唯一类型，因此对于有关多次相交的讨论，可暂为延缓一下。
假如t在o的左边，则延长的op线将会再与oe相割，而与定理4有矛盾。因此，纵然这条曲线可以稍向op弯曲一些（即是说，它有向相反方向弯曲的点），但却不能向后弯回到使p之上任何点的切线与op平行。象第五图中的点p即切oe两次，但那里t是在o的右边。另一方面，第六图指出一种不可能的oe形状。因为在p附近的反转弯曲达到使t在o左边的程度；同时，画oqq′平行于pt割oe于q和q′；这样则曲线即代表纵然q′n包小于pm，但e仍愿以较pm不利的条件购买q′n′包，这种情况是不可能的。因此我们得出：
定理9.在正常和特殊的需求情况下，假如在oe上任何一点p的切线pt，割ox于t，则t必然在o的右边；而在正常情况下，它必然在o和p对ox垂直线脚的中间。
假如在任何点上，e的需求弹性都是一，则oe在该点必然是垂直的。因为交换比率对它稍许有利多少（由角xop的增加表示），就会相应地使它的购买增加多少；也就是说，当它得到较有利的交换比率后，他仍将运还和过去一样多的货物。
假如oe属于特殊需求类型，则它可能通过直线弯曲，因此，沿oe向上移动的一点在离开oy后，又转回来向它移动。假如p在曲线的这一部分，t即会在m的右边；假使t的位置变得无限地离开，因而曲线与xo平行，这就表示没有弹性；即是说，对e有利的比率提高，也不会引诱它增加对g货物的购买。这些考虑提供了下一定理前部分的证据。其后一部分需要用数学方法来说明。
定理10.令oe上任何一点p的切线切ox于t；假如角opt是无限小的话，则表示在点p上e的需求弹性是无限大。随着角度的增加，所表示的弹性不断缩减；假如t与m吻合，则弹性等于一。在特殊需求情况下，当t向m的右方移动，则表示弹性缩减为无。需求弹性等于om除以ot.①
①下面是e的几何证明，e是e的弹求弹性，由曲线中p点表示，等于om/ot是点p切线切ox的一点。这个证明同时适用于第七和第八两图，在这两个图中e分别大于或小于一，因此在图中t分别位于m的左边或右边。（见第七图，第八图）
令p，p′为e需求曲线上连续的两点。因此pp′事实上即是p点上的切线，p′r/pm是贸易条件发生微小的实际变化（或如我们普通所说，它所支付的实际价格稍有降低）后，e的购买由om/pm到om′/p′m′的相应变化。
3．在人为的简化条件下，用图解来表示一国得自对外贸易的净利益。
第三编第六章第四节中所描述的g在贸易中的剩余，以及那里所指出的限度，现在用第九图来表示。a是g用ab（70，200）包换到e的ob（90，000）包的交换点。在任何方便的距离上画一条固定线dr与oy平行；这里令od代表e的100，000包。令oa的延长线切dr于k；并画kh垂直于oy.
现在de/fe－de′/f′e′＝de·f′g－fe·ee′/fe2＝（de－he）f′g/fe2，
或f′g·dh/fe2；
由于ee′/f′g＝he/fe，
所以ee′·fe＝he·f′g′
因此，i所偿付的价格的相应变化即为
f′g·dh/fe2．jde/fe＝f′g·dh/de·fe
所以k（即是i购买l货物的相应变化）除以贸易条件的相应变化，
＝f′g/fe．jf′g·dh/de·fe＝de/dh．
微分可以使我们较为简便地得到以上结果。假设（m，n）f的座标，贸易条件由（m，n）到（m＋om，n＋on）的有利于i的相应变动即为
－o/m．nj/mn＝nom－mon/n2×n/m＝on/mn（m－no/mn），
pk＝on/nj．（m－n．om/on）on/mn＝m/d/e－mn/on）＝om/dh.
令dg切dl于d点。通过dl的任何一点f，画dfq线割rg于f；并延长ef于f′；因此e′成为割st的一点，e′f′可能等于tq.这样，l就愿意以它自己的fe包换i的de包的比率来偿付i的第de包；亦即是，愿意以它自己的qr包换i的dr包的比率来贸易。因此它在第de包的地方即得到tq比率的剩余，这和以e′f′来换i的dr包的比率一样。因此，它的第de包的剩余由它自已的e′f′包中的第dr部分来表示。
假如f由d开始沿着dl移动，f′即由g对dn的垂直线脚u开始移动，形成一条曲线至v′为止，v′即是wv延长线与st相交的一点。因此，当f′由u到v′的时候，l得自对外贸易的总剩余或净利得即是e′f′全线中的第dr部分，也就是说，它是usv′面积中的第dr部分。
画xy平行于dm，因此长方形xsty等于面积usv′。所以相当于一包的单位线xs即是长方形xsty的第dr部分，同时也是代表我们想要求得的l在贸易中所获得的总（直接）净利得或剩余得。
很明显，点f由d沿dl移动得越快，即切线dg与dm的角度越大，usv′（也就是剩余）也就越大（假定v的位置为已知）；同时对dv的距离也就越远。换言之，l需要i的小数量货物越迫切，并能按对它有利而没有大变动的交换率获得i的货物越多，则剩余越大。另一方面，如dl一直很接近于dv，表示l在比以i的dw包交换其自己的wv包的比率要不利得多的条件下，连i的少数货物也不考虑，但它的需求却有这样大的弹性，使它愿在该比率下得到大量货物，那么面积usv′将会变得很小，表示l在贸易中只获得很少的净利得。
求方程的积分（m/nzm/zn）k＝m
在k为常数的假定下，得
nkb1＝[mk．
不用说，关于比我们现在所研究的数量小得多或大得多的贸易额的弹性，不可能作出合理的推测，即使这种推测的弹性接近常数。类似的局限性几乎适用于任何经济理论部分的一切数学例证和图解。
假如k无限大，则曲线将变为通过d的直线。假如k＝1，则变为m等于常数，假如k＝0，则变为n等于常数，与前述结果一致。应该注意，因为zzn（nm必须为正数，因此mbnzmzn，亦即dh，必须为正数；这样定理9就可直接由定理2推论出来。
再让k′改为代表i愿扩大销售的弹性，而不是愿购买的弹性。这颇类似国内价值中的“供给弹性”（参阅我的《经济学原理》第五编，第十二章，第一节）；但这与递减供给和递增供给的影响有特殊关系；假定卖者收到的是对他的边际效用几乎是接近于不变的货币。在i愿意增加售卖量的情况下，决定性因素就将是它换取货物的不断变化的边际效用。这并不暗示，i的输出品有显著的收益递减或收益递增的倾向。现在要求得的结果属于大类型，似乎和现在的问题没有实际联系；但假如把它放在书架上准备以后使用，可能有意想不到的用处。
k′：k＝omm：onn， pk′＝nmznzmbn
假定k′为常数，来做积分，就得出
nk′＝[mk\＋1．
假如k′＝]，我们在上面一样，得到曲线为通过d的直线；假如k′＝1，我们就得到以dn为轴的抛物线；假如k′＝0，我们就得到平行于dn的直线，这些结果本身就是合理的。
4．在某种和实际贸易的正常情况没有很大出入的前提下国际供求均衡的稳定性。
把相当于i和l之间任何时候的贸易实际情况的那一点定一名称，将会有许多方便。假如在任何时期内，i输出de包以换取l的d^包，画出ef和^f，分别与dm和dn成直角，相交于f；则f即为该时期内的交换指数。
我们可以假定开始时交换指数不是在v；一些外部干扰力量，如战争或歉收，使交换指数处于这样的位置，在这一位置，与交换指数相应的贸易不处于均衡状态。我们可以研究支配指数变化的力量。
定理6说，di不能与经过f的水平线相割两次，dl也不能与经过f的垂直线相割两次。于是我们有下述定义：
说一个点是在di的右边或左边，要以此点究竟是在di和经过此点所作的水平直线交点的右边抑左边为断；同样，说一个点是在dl的上边或下边，要以此点究竟是在dl和经过此点所作的垂直线交点的上边抑下边为断。
大部分有关国外贸易的纯理论可由上述定理和下述定理推论出来。
定理11.若任何时候交换指数是在di的右边，则它将趋于向左移动；若它在di的左边，则它将趋于向右移动。同样，若任何时候交换指数在dl的上边，则它将趋于向下移动；若它在dl的下边，则它将趋于向上移动。
为了证明，让交换点f在di的左边，如第十图，并让^f延长与di相割于_.那么，因为_是di上的一点，所以l每年得以在i销售出d^包以换取i生产和输出^_包的手段。但在当时，l正把d^包输入于i，而i只有^f包输出和它交换。结果是，这种贸易提供了特别高的利润；同时，由于竞争假定是自由的，i的输出包数将会增加。因此，当交换指数在di的左边时，它将趋于向右移动。所以交换指数若在^_延长段的f′，就表明i每年以^f′的比率输出，以换取l的d^包数；此数在i只能卖得生产和输出^_包的费用，结果是，i输出的包数将趋于减少，即是说，当交换点在di的右边时，它将趋于向左移动。同样的证明可以用于有关dl的第二部分定理。①
①因此，交换指数的运动在任何方面，都与一个自由移动的物质微粒的运动相似，该物质微粒在各种力量的作用下不断向oe和og移动。假定oe为一坚硬的金属丝，它只能在水平方向发生吸引力，并且依照书中的定义，当微粒位于oe的左边时，吸引力总是趋向于右边，反之亦然。同样，假定og为一坚硬的金属丝，它只能在垂直方向发生吸引力，而且依照书中定义，当微粒位于og的下边时，吸引力总是趋向于上边，反之亦然。这样，微粒的运动就将与我们的交换指数的运动完全一样，所以我们若对这些水平的和垂直的力量给以任何特殊法则，我们就会对交换指数的运动得到一个微分方程。
我们可以把di和dl相交一点的均衡视为稳定的，若当交换指数碰到该点附近的任何一条曲线时，作用于该指数的力量将使它沿着该线摇摆着趋向于该点。在其他情形下，均衡是不稳定的。
很明显，假如di和dl属于正常类型，则它们彼此（除d之外）只能相交于一点；该点即代表稳定均衡（见第十附图中的箭头）。若曲线能属于别的类型，则可以相交几次。
5．i和l的各种不同程度的需求弹性，分别影响它们之间对贸易条件的改变，这种改变是由于i对l商品的需求增加而引起的，现以放大的图解来说明前面对这些影响的研究。
下一步我们要解释第三编第八章第一节中提出的问题，我们已经晓得该曲线是属于正常类型；因此，它们不能与同一垂直线或同一水平线相割两次。对于特殊类型将延缓到第8、第9节论述。
我们假定i对l货物的需求增加；因此di移至新位置di′。在di上的任何一点f画fqe、ff′及f′e′如第十一图。这样，f′必位于f的右边，而q必位于f的下边。因为i用fe（或f′e′）包向l交换的de′数量大于de；同时它用自己的de向l交换的qe数量小于de.这指出表示改变的两种方法：我们可以说di是向右移动，或是向下移动。如果di不属于正常类型，它就有可能与同一垂直线相割一次以上，尽管在任何情形下，都不能与同一水平线相割一次以上；在这种情况下，我们可以说，i的需求增加使di向右移动。
为了使概念明确，我们可以假设，由于i的人口增加，或由于i取消了对l进口货的关税，任何一定数量的l包所能支配的i包数增加了六分之一，也就是de′等于de的六分之七。
这种情况在第十一图中大体上有所说明，该图中的di和dl是重印第一图的。v即是原来的均衡位置。画水平线`va通过v，割dn于`；va是`v的六分之一。那么，在上一节的假设下：由于i的需求增加，所以它用比原来多六分之一的包数来换原来l的均衡包数wv，a是i新需求曲线上的一点。令di′割dl于v′。那么，v′就是新的均衡位置。假如i的新曲线的一般形状和老曲线一样的话，则v′必然和图上所指的位置大体一致。
但假如我们除了假定两条曲线都是一般的或正常的类型，并相交于v之外，并没有更假定有关di或dl的形状；同时，假如我们假定di′只是象di那种一般的类型并通过a的话，那么我们对于v′的位置所能够知道的只是它位于面积rbaz之内；r和z是dv和da直线延长段上的点，而b是通过a的垂直线割dr的一点。因为，既然di′和dl属于正常类型，v′就不能位于a的左边，也不能位于v的下边。又既然它是di′上较a距离d更远的一点，它就必须位于da之上；又既然它是dl上较v距离d更远的一点，它就必须位于dr之下。
为了详细研究i和l的需求弹性对v′的位置所产生的影响，需要占用较大的篇幅。第十二图中的rvaz是把第十一图以放大的尺寸重印于此。我们可以严格地随着文中所述的次序来观察。字母r、b、v、a、z和第十一图中所代表的意义一样；所以rv和za如果延长到图外，就会相交于d.vl、vl′和vlc是l需求曲线的连续，各代表弹性的大、中、小；同时ai、3i′和aic是新情况下i需求曲线的同样的连续。
让我们先讨论当l的需求很富于弹性时，以dl表示的一组结果。它们都指出l产品的输出有很大的增加，因为d、t和e都远在v的上边，而角edm、tdm甚至ddm并不比vdm小许多；这表明，i可以得到l的增加的供给而不致大大改变交换比率。因此，整个说来，l的较大需求弹性是对这组结果的主要影响。
第二组结果由i的新需求曲线的三个交叉位置表示，以dl′代表l需求的中等弹性。g、f和h在同一方向的差别正和d、t和e的差别一样，只是相差的数量较小而已。整个说来，它们和上面第一组结果不同的地方是比较密集。i的需求弹性的变动，对于交换比率所产生的影响较上面的情况为大，但它对l的供给的影响却比以前小。因此在这里，l的需求性质的影响虽不象上面那样显著，但仍然是主要的。
另一方面，在最后一组结果中，l的需求性质是最主要的因素。因为i的新需求曲线上的三个交叉位置u、x和y及代表l方面很不富需求弹性的一条曲线，它们的位置很接近，并都接近于a.其中每一个都指出，i所得到l的货物只有很少的增加，但让出较旧均衡多六分之七以上的输出品，所以必须忍受较旧时远为不利的交换比率。
自然，在d、t、e的交换比率，对i说来是有利的上行次序，对l说来是不利的上行次序；在g、f、h和u、x、y，在y、h、e和x、f、t以及在u、g、d等位置的交换比率都是一样。在y、f和d的交换比率大致相等；在h和t，以及x和g的位置也是一样。
6．以图解来研究i和l各种不同程度的需水弹性对它们之间贸易条件变化的影响，这种变化是由于i对l商品需求减少而引起的。
现在我们用图解的方法来解释上节里的问题。令f为di上的任何一点；画fe垂直于dm；在de上取一点e′，使de′＝5/6de，并画e′f′垂直线等于ef；这样，f′即是i的新需求曲线di′上的一点。因为若l以fe包提供于i市场，就将要买i的de包；但其中ee′被i政府拿去，因此将只有de′可送还给l.令di′割dl于v′；这样，v′即是新的均衡位置；同时以va代表租税，a是在通过v的一条水平线上与i′相交的一点。
画dv和da两条直线，ab垂直于dv；这样，v′就必位于直线三角形dab之内。因为和上面的情形一样，由于dl是属于正常类型，所以vv′必位于dva角之内；又由于di′是属于正常类型，所以av′也必位于dab角之内。
对i有利的贸易条件的变化，以vdv′角来表示。我们必须研究，在租税va为已知的情况下，使这个角度变大的条件是什么。很明显（若我们先把di′的形状作为已知），v′va角度越小，也就是在v附近的l的需求弹性越小，vdv′角越大。若我们再把dl的形状作为已知，那么，vav′角越大，也就是，i的需求弹性越大，vdv′角就越大。把两种结果结合起来，如租税的数额为已知，l的需求弹性越小，i的需求弹性越大，交换比率向有利于i的方向变化的幅度就越大。
进一步研究时，我们就会晓得这些条件中的第一部分较之第二部分一般说来更为重要。为了这个目的，我们把第十三图中dva的上一部分割下来，用第十四图的放大尺寸来表示。
详细研究一下我们就会注意到，当l的需求很富于弹性时，vl即是l曲线上的一部分。假定它的需求各有大、中、小三种弹性，则它将与i新曲线上的ai、ai′和aic相交。点d代表i和l的输出大大收缩，尽管贸易条件变动很小；同时租税几乎都由i来负担。t和e代表贸易只有很小的收缩，转嫁给l的租税负担则略有减少。
在g、f和h所代表的每一种情况下，租税负担要大得多，贸易的收缩要小得多；g、f和h是中等弹性的l曲线和不同弹性i曲线的交点。
第三组交点u、x和y，是弹性很小的l曲线和不同弹性i曲线的交点，它们指出l的输出几乎没有收缩，但i的输出却收缩了六分之一以上；在各种情况下，i的全部租税负担几乎都转嫁给了l.
在d、t和e的交换比率，对i的利益来说是下降的次序，g、f和h，以及u、x、y等也都一样。
l的输出对u、x、y组内每一数目几乎都一样；在第二组g、f、h的三个数目之间。l输出的差别不很大。i的输出在每一情况下都收缩六分之一以上，但除在其需求很富于弹性的时候外，不会远远超过六分之一。
下一步我们可以研究一个抽象问题，即假如对i的输入品课税，其全部税收都用在l的货物上面时，这对交换比率有什么影响；或者换一种说法，若租税以实物征收，所征收的全部l货物由政府保留，这对交换比率会发生什么影响。在这两种情况下都假定，政府对l货物的消费完全不起它在i的私人消费者手中所起的作用。
本附录中的一些曲线图曾得到我的允许，由潘陶里奥尼教授在他1889年出版的《纯经济学原理》中重印过，这部书已有英译本。在1889年奥斯培兹和莱本所著的影响很大的《物价理论》中曾发现他们自己所画出的曲线图颇类似我的曲线图。参阅莱本在《国民经济杂志》第七卷中的长注解。还可参考《经济学杂志》中埃奇沃思一系列的出色论文，以及坎宁安爵士的《几何政治经济学》。
1．决定曲线形状的条件，这些曲线用来表示国际贸易供求的各种情况及其与国际价值的关系。
把第三编第六章里的表格重印于此，并作为我们研究的起点。对于那里已经解释过的第（2）栏数字何以渐增，和第（4）栏数字何以渐减，不需在此重复解释；但当然既需要以各栏中的数字来解释，也需要以这里的图形来解释。
把下表用图来表示，以沿ox的距离代表e的包数，以一英寸的尺度代表100，000包；并以沿oy的距离以同样的尺度代表g的包数。画一称为e曲线的oe代表e愿意贸易的条件。这样，假如p是沿这条曲线运动的一点，而pm永远是垂直于ox所画的一条线，这样，则当om连续地代表第（1）栏的数字时，pm即代表第（3）栏中的相应数字。因此，当om为半英寸，代表e的50，000包时，pm将是十分之二英寸，代表g的20，000包。当p达到a点时，p与oy的距离将是十分之九英寸，代表e的90，000包；而其与ox的距离将是稍多于十分之七英寸，代表g的70，000包。
同样，画og（亦即g曲线）代表g愿意贸易的条件。假如p沿着og移动，同时画pm永远垂直于ox，那么，当om代表第（1）栏的连续数字时，mp即代表第（5）栏的相应数字。当om为十分之三英寸，代表e的30，000包时，pm将稍多于十分之四英寸，代表g的42，900包。当p达到a点时，om和pm将各等于ob和ab.oe和og的交点可称之为均衡点。
2．以图形表示各种正常条件下的国际需求弹性。
定理1.关于oe可能有的形状的每一说明，都有相应的关于og可能有的形状的同样说明；但是在前一说明中在哪里提到ox，则在后一说明中即须在哪里提到oy，反之亦然；当在前一说明中提到水平直线时，则在后一说明中必将提到垂直直线，反之亦然。把有关oe的图形画于薄纸上，朝着光线举起来，把纸的反面对着眼睛，同时令oy指向右方，就象是一个新的ox一样，而原来的ox就成了新的oy；这样，有关oe的解释即可一字不变地用于og，尽管oe的形状正常，但可假设og有各种形状。
oe和og的形状都不正常所表示的那种情况，是可能出现的，当两个垄断者只彼此进行贸易时就会出现这种情况。关于这种情况，我们在本附录的结尾稍加叙述；但它和国际贸易的实际问题似乎并没有什么关系。现在我们即假定og的形状为正常。
两种曲线形状变动的可能限度都一样；但在任何特殊情况下，两种曲线可能相差很远。例如，假如e有某些重要输出品对g几乎是不可缺少的东西，而g却没有e所不可缺少的东西，这样则og在o的附近将为近乎垂直的形状，而oe在o的附近却不会成为近乎水平的形状。这种情况可由第二图来表示。
这个图和第一图一样，代表国际贸易的一般（或正常）情况，在这种情况下，没有一国急切地需要另一国的大部分输入品；同时每一国的需求在接近均衡点的地方都是很富于弹性的。正如第三编第八章中所说过的，这是和现代国际贸易具体问题唯一最有关系的情况。因为事实上一个其输出品为各处所大量需求的国家，只要国际市场上的汇票和其他信用工具能充分起作用，它就可以从别的地方得到同价值的输入品。
但还有另外一种“特殊需求类型”，在这种类型下，一国的外货市场可能如此地不富于弹性，以致中常的供给就会导致供给严重过剩，进一步增加供给就会迫使外国货以递减的收益在市场上出售。第三图的oe形状即表示这种情况。
在实际的正常贸易情况下，oe不可能弯曲到垂直的地步；同时og也不可能弯曲到水平的地步。我们可用定义的方式把这一点更简单地讲一下，因为它在别的地方还有用处：当曲线的任何一部分呈现这样的方向，使沿它运动的点离开ox，也离开oy，则该部分曲线称为正倾斜。相反地，当曲线的任何一部分呈现这样的方向，使沿它运动的点远离ox，但却接近oy时，则该部分曲线称为负倾斜。
因此我们得到：
定理2.在正常需求类型（但不是特别需求类型）下，每一条曲线全部都是正倾斜。
在特殊供给类型下，e包的数量被假定为能够迅速而大量地增加，这是由于随着e的输出贸易的增加，它的生产经济有很大发展的缘故。在这种情形下，可以想象g愿意按名义上变动的不利于e的交换比率获得e所增加的数量，因为这种名义上的变动能使它以自己劳动和资本所生产的单位产品来换它愿意得到的货物增加量。但这种情况和实际可能性和实际应用都有很大的出入，因此现在可以暂不提及，留待本附录结尾时研究。
定理3.在正常和特殊需求类型下，假如p是沿oe运动的一点，并画pm垂直于ox，则pm每有增加，pm对om的比率以及pom的角度亦随之增加。①因此：
①当e的oa包交换g的ab包时．自然e所得到的输入条件在数学上是由aob的正切来衡量，而g所得到的条件是由aob的余切来衡量。
定理4.在正常和特殊类型下，若p是oe上的任何一点，则在oe上o与p之间那部分的每一点，必在op直线之下；而在oe其余部分的每一点，必在op直线延长的部分之上。同样，若p是og上的任何一点，则在og上o与p之间那一部分的每一点，必在op线的左边，而在og其余部分的每一点，必在op直线延长部分的右边。因此这种曲线不能经过o而割直线两次。
我们晓得，假如g在e出售的包数很少，它将会在有利于g的条件下售出。因此，当pm较小时，pm对om的比率亦较小；而由o沿oe移动的点最初亦较接近于ox.同样，由o沿og移动的点最初亦较接近于oy，因此：
定理5.在正常和特殊需求类型下，毗连o的oe那一部分必在毗连o的og那一部分之下。
在已知的条件下，任何在e能售出的g包某一数量的总购买力为已知；同时在该购买力下e能生产的包数亦为已知。因此oe不能象第四图那样向ox弯曲。因为，假如这样的话，就暗示：g的ab包的售价等于e生产ob包的费用；同时g的cd包（与g的ab包一样）的售价恰等于e生产od包的费用。但这是不可能的。因此我们得到一个能普遍运用的定理；不象前两个那样依赖于定理3了。
定理6.在任何情形下，oe不能被一个水平线相割两次。同样，og不能被一个垂直线相割两次。
让我们再来探讨属于正常类型曲线，而不属于特殊类型曲线的一些法则。就正常类型（但不就特殊类型）而言，我们假定，在e每年出售的g包数量每有增加，就增加了出售的全部收入，从而增加了与它交换的e包的输出数量。换言之，若自oy任何一点n，画出np与oy成直角，与oe曲线相遇于p，则on愈大，np也愈大。
但在以第四图为代表的特殊类型下，当n沿oy从o移动时，虽然最初np随着on的增加而增加，可是当n达到某一点时（如第四图中的v），曲线和ox的距离即停止增加而开始减少，从而曲线也向着ox弯曲。这些情况和og的相应结果可说明如下：
定理7.在正常类型下，oe不能和同一垂直线相割两次，但在特殊需求类型中则可能。同样，在正常类型下，og不能和同一水平线相割两次，但在特殊需求类型中则可能。
如a为两曲线的交点（如第一图），则（根据定理4）ae必完全在oa的延长部分之上；而ag必完全在oa的延长部分之右；因此，ae和ag不能再相割。ae也不能与在o和a之间的og那一部分相割。因为根据定理6，o和a之间的og那一部分必完全在通过a的垂直线的左边；同时根据定理7，ae必全在该直线的右边。同样，ag不能与位于o与a之间的oe那一部分相割。所以oe和og除在o和a之外不能相遇。因此我们得出：
定理8.在正常类型下，oe和og不能相割于一点以上（除o之外）；但可以想象，在特殊需求类型下是可能的。
但正常类型是有实际意义的唯一类型，因此对于有关多次相交的讨论，可暂为延缓一下。
假如t在o的左边，则延长的op线将会再与oe相割，而与定理4有矛盾。因此，纵然这条曲线可以稍向op弯曲一些（即是说，它有向相反方向弯曲的点），但却不能向后弯回到使p之上任何点的切线与op平行。象第五图中的点p即切oe两次，但那里t是在o的右边。另一方面，第六图指出一种不可能的oe形状。因为在p附近的反转弯曲达到使t在o左边的程度；同时，画oqq′平行于pt割oe于q和q′；这样则曲线即代表纵然q′n包小于pm，但e仍愿以较pm不利的条件购买q′n′包，这种情况是不可能的。因此我们得出：
定理9.在正常和特殊的需求情况下，假如在oe上任何一点p的切线pt，割ox于t，则t必然在o的右边；而在正常情况下，它必然在o和p对ox垂直线脚的中间。
假如在任何点上，e的需求弹性都是一，则oe在该点必然是垂直的。因为交换比率对它稍许有利多少（由角xop的增加表示），就会相应地使它的购买增加多少；也就是说，当它得到较有利的交换比率后，他仍将运还和过去一样多的货物。
假如oe属于特殊需求类型，则它可能通过直线弯曲，因此，沿oe向上移动的一点在离开oy后，又转回来向它移动。假如p在曲线的这一部分，t即会在m的右边；假使t的位置变得无限地离开，因而曲线与xo平行，这就表示没有弹性；即是说，对e有利的比率提高，也不会引诱它增加对g货物的购买。这些考虑提供了下一定理前部分的证据。其后一部分需要用数学方法来说明。
定理10.令oe上任何一点p的切线切ox于t；假如角opt是无限小的话，则表示在点p上e的需求弹性是无限大。随着角度的增加，所表示的弹性不断缩减；假如t与m吻合，则弹性等于一。在特殊需求情况下，当t向m的右方移动，则表示弹性缩减为无。需求弹性等于om除以ot.①
①下面是e的几何证明，e是e的弹求弹性，由曲线中p点表示，等于om/ot是点p切线切ox的一点。这个证明同时适用于第七和第八两图，在这两个图中e分别大于或小于一，因此在图中t分别位于m的左边或右边。（见第七图，第八图）
令p，p′为e需求曲线上连续的两点。因此pp′事实上即是p点上的切线，p′r/pm是贸易条件发生微小的实际变化（或如我们普通所说，它所支付的实际价格稍有降低）后，e的购买由om/pm到om′/p′m′的相应变化。
3．在人为的简化条件下，用图解来表示一国得自对外贸易的净利益。
第三编第六章第四节中所描述的g在贸易中的剩余，以及那里所指出的限度，现在用第九图来表示。a是g用ab（70，200）包换到e的ob（90，000）包的交换点。在任何方便的距离上画一条固定线dr与oy平行；这里令od代表e的100，000包。令oa的延长线切dr于k；并画kh垂直于oy.
现在de/fe－de′/f′e′＝de·f′g－fe·ee′/fe2＝（de－he）f′g/fe2，
或f′g·dh/fe2；
由于ee′/f′g＝he/fe，
所以ee′·fe＝he·f′g′
因此，i所偿付的价格的相应变化即为
f′g·dh/fe2．jde/fe＝f′g·dh/de·fe
所以k（即是i购买l货物的相应变化）除以贸易条件的相应变化，
＝f′g/fe．jf′g·dh/de·fe＝de/dh．
微分可以使我们较为简便地得到以上结果。假设（m，n）f的座标，贸易条件由（m，n）到（m＋om，n＋on）的有利于i的相应变动即为
－o/m．nj/mn＝nom－mon/n2×n/m＝on/mn（m－no/mn），
pk＝on/nj．（m－n．om/on）on/mn＝m/d/e－mn/on）＝om/dh.
令dg切dl于d点。通过dl的任何一点f，画dfq线割rg于f；并延长ef于f′；因此e′成为割st的一点，e′f′可能等于tq.这样，l就愿意以它自己的fe包换i的de包的比率来偿付i的第de包；亦即是，愿意以它自己的qr包换i的dr包的比率来贸易。因此它在第de包的地方即得到tq比率的剩余，这和以e′f′来换i的dr包的比率一样。因此，它的第de包的剩余由它自已的e′f′包中的第dr部分来表示。
假如f由d开始沿着dl移动，f′即由g对dn的垂直线脚u开始移动，形成一条曲线至v′为止，v′即是wv延长线与st相交的一点。因此，当f′由u到v′的时候，l得自对外贸易的总剩余或净利得即是e′f′全线中的第dr部分，也就是说，它是usv′面积中的第dr部分。
画xy平行于dm，因此长方形xsty等于面积usv′。所以相当于一包的单位线xs即是长方形xsty的第dr部分，同时也是代表我们想要求得的l在贸易中所获得的总（直接）净利得或剩余得。
很明显，点f由d沿dl移动得越快，即切线dg与dm的角度越大，usv′（也就是剩余）也就越大（假定v的位置为已知）；同时对dv的距离也就越远。换言之，l需要i的小数量货物越迫切，并能按对它有利而没有大变动的交换率获得i的货物越多，则剩余越大。另一方面，如dl一直很接近于dv，表示l在比以i的dw包交换其自己的wv包的比率要不利得多的条件下，连i的少数货物也不考虑，但它的需求却有这样大的弹性，使它愿在该比率下得到大量货物，那么面积usv′将会变得很小，表示l在贸易中只获得很少的净利得。
求方程的积分（m/nzm/zn）k＝m
在k为常数的假定下，得
nkb1＝[mk．
不用说，关于比我们现在所研究的数量小得多或大得多的贸易额的弹性，不可能作出合理的推测，即使这种推测的弹性接近常数。类似的局限性几乎适用于任何经济理论部分的一切数学例证和图解。
假如k无限大，则曲线将变为通过d的直线。假如k＝1，则变为m等于常数，假如k＝0，则变为n等于常数，与前述结果一致。应该注意，因为zzn（nm必须为正数，因此mbnzmzn，亦即dh，必须为正数；这样定理9就可直接由定理2推论出来。
再让k′改为代表i愿扩大销售的弹性，而不是愿购买的弹性。这颇类似国内价值中的“供给弹性”（参阅我的《经济学原理》第五编，第十二章，第一节）；但这与递减供给和递增供给的影响有特殊关系；假定卖者收到的是对他的边际效用几乎是接近于不变的货币。在i愿意增加售卖量的情况下，决定性因素就将是它换取货物的不断变化的边际效用。这并不暗示，i的输出品有显著的收益递减或收益递增的倾向。现在要求得的结果属于大类型，似乎和现在的问题没有实际联系；但假如把它放在书架上准备以后使用，可能有意想不到的用处。
k′：k＝omm：onn， pk′＝nmznzmbn
假定k′为常数，来做积分，就得出
nk′＝[mk\＋1．
假如k′＝]，我们在上面一样，得到曲线为通过d的直线；假如k′＝1，我们就得到以dn为轴的抛物线；假如k′＝0，我们就得到平行于dn的直线，这些结果本身就是合理的。
4．在某种和实际贸易的正常情况没有很大出入的前提下国际供求均衡的稳定性。
把相当于i和l之间任何时候的贸易实际情况的那一点定一名称，将会有许多方便。假如在任何时期内，i输出de包以换取l的d^包，画出ef和^f，分别与dm和dn成直角，相交于f；则f即为该时期内的交换指数。
我们可以假定开始时交换指数不是在v；一些外部干扰力量，如战争或歉收，使交换指数处于这样的位置，在这一位置，与交换指数相应的贸易不处于均衡状态。我们可以研究支配指数变化的力量。
定理6说，di不能与经过f的水平线相割两次，dl也不能与经过f的垂直线相割两次。于是我们有下述定义：
说一个点是在di的右边或左边，要以此点究竟是在di和经过此点所作的水平直线交点的右边抑左边为断；同样，说一个点是在dl的上边或下边，要以此点究竟是在dl和经过此点所作的垂直线交点的上边抑下边为断。
大部分有关国外贸易的纯理论可由上述定理和下述定理推论出来。
定理11.若任何时候交换指数是在di的右边，则它将趋于向左移动；若它在di的左边，则它将趋于向右移动。同样，若任何时候交换指数在dl的上边，则它将趋于向下移动；若它在dl的下边，则它将趋于向上移动。
为了证明，让交换点f在di的左边，如第十图，并让^f延长与di相割于_.那么，因为_是di上的一点，所以l每年得以在i销售出d^包以换取i生产和输出^_包的手段。但在当时，l正把d^包输入于i，而i只有^f包输出和它交换。结果是，这种贸易提供了特别高的利润；同时，由于竞争假定是自由的，i的输出包数将会增加。因此，当交换指数在di的左边时，它将趋于向右移动。所以交换指数若在^_延长段的f′，就表明i每年以^f′的比率输出，以换取l的d^包数；此数在i只能卖得生产和输出^_包的费用，结果是，i输出的包数将趋于减少，即是说，当交换点在di的右边时，它将趋于向左移动。同样的证明可以用于有关dl的第二部分定理。①
①因此，交换指数的运动在任何方面，都与一个自由移动的物质微粒的运动相似，该物质微粒在各种力量的作用下不断向oe和og移动。假定oe为一坚硬的金属丝，它只能在水平方向发生吸引力，并且依照书中的定义，当微粒位于oe的左边时，吸引力总是趋向于右边，反之亦然。同样，假定og为一坚硬的金属丝，它只能在垂直方向发生吸引力，而且依照书中定义，当微粒位于og的下边时，吸引力总是趋向于上边，反之亦然。这样，微粒的运动就将与我们的交换指数的运动完全一样，所以我们若对这些水平的和垂直的力量给以任何特殊法则，我们就会对交换指数的运动得到一个微分方程。
我们可以把di和dl相交一点的均衡视为稳定的，若当交换指数碰到该点附近的任何一条曲线时，作用于该指数的力量将使它沿着该线摇摆着趋向于该点。在其他情形下，均衡是不稳定的。
很明显，假如di和dl属于正常类型，则它们彼此（除d之外）只能相交于一点；该点即代表稳定均衡（见第十附图中的箭头）。若曲线能属于别的类型，则可以相交几次。
5．i和l的各种不同程度的需求弹性，分别影响它们之间对贸易条件的改变，这种改变是由于i对l商品的需求增加而引起的，现以放大的图解来说明前面对这些影响的研究。
下一步我们要解释第三编第八章第一节中提出的问题，我们已经晓得该曲线是属于正常类型；因此，它们不能与同一垂直线或同一水平线相割两次。对于特殊类型将延缓到第8、第9节论述。
我们假定i对l货物的需求增加；因此di移至新位置di′。在di上的任何一点f画fqe、ff′及f′e′如第十一图。这样，f′必位于f的右边，而q必位于f的下边。因为i用fe（或f′e′）包向l交换的de′数量大于de；同时它用自己的de向l交换的qe数量小于de.这指出表示改变的两种方法：我们可以说di是向右移动，或是向下移动。如果di不属于正常类型，它就有可能与同一垂直线相割一次以上，尽管在任何情形下，都不能与同一水平线相割一次以上；在这种情况下，我们可以说，i的需求增加使di向右移动。
为了使概念明确，我们可以假设，由于i的人口增加，或由于i取消了对l进口货的关税，任何一定数量的l包所能支配的i包数增加了六分之一，也就是de′等于de的六分之七。
这种情况在第十一图中大体上有所说明，该图中的di和dl是重印第一图的。v即是原来的均衡位置。画水平线`va通过v，割dn于`；va是`v的六分之一。那么，在上一节的假设下：由于i的需求增加，所以它用比原来多六分之一的包数来换原来l的均衡包数wv，a是i新需求曲线上的一点。令di′割dl于v′。那么，v′就是新的均衡位置。假如i的新曲线的一般形状和老曲线一样的话，则v′必然和图上所指的位置大体一致。
但假如我们除了假定两条曲线都是一般的或正常的类型，并相交于v之外，并没有更假定有关di或dl的形状；同时，假如我们假定di′只是象di那种一般的类型并通过a的话，那么我们对于v′的位置所能够知道的只是它位于面积rbaz之内；r和z是dv和da直线延长段上的点，而b是通过a的垂直线割dr的一点。因为，既然di′和dl属于正常类型，v′就不能位于a的左边，也不能位于v的下边。又既然它是di′上较a距离d更远的一点，它就必须位于da之上；又既然它是dl上较v距离d更远的一点，它就必须位于dr之下。
为了详细研究i和l的需求弹性对v′的位置所产生的影响，需要占用较大的篇幅。第十二图中的rvaz是把第十一图以放大的尺寸重印于此。我们可以严格地随着文中所述的次序来观察。字母r、b、v、a、z和第十一图中所代表的意义一样；所以rv和za如果延长到图外，就会相交于d.vl、vl′和vlc是l需求曲线的连续，各代表弹性的大、中、小；同时ai、3i′和aic是新情况下i需求曲线的同样的连续。
让我们先讨论当l的需求很富于弹性时，以dl表示的一组结果。它们都指出l产品的输出有很大的增加，因为d、t和e都远在v的上边，而角edm、tdm甚至ddm并不比vdm小许多；这表明，i可以得到l的增加的供给而不致大大改变交换比率。因此，整个说来，l的较大需求弹性是对这组结果的主要影响。
第二组结果由i的新需求曲线的三个交叉位置表示，以dl′代表l需求的中等弹性。g、f和h在同一方向的差别正和d、t和e的差别一样，只是相差的数量较小而已。整个说来，它们和上面第一组结果不同的地方是比较密集。i的需求弹性的变动，对于交换比率所产生的影响较上面的情况为大，但它对l的供给的影响却比以前小。因此在这里，l的需求性质的影响虽不象上面那样显著，但仍然是主要的。
另一方面，在最后一组结果中，l的需求性质是最主要的因素。因为i的新需求曲线上的三个交叉位置u、x和y及代表l方面很不富需求弹性的一条曲线，它们的位置很接近，并都接近于a.其中每一个都指出，i所得到l的货物只有很少的增加，但让出较旧均衡多六分之七以上的输出品，所以必须忍受较旧时远为不利的交换比率。
自然，在d、t、e的交换比率，对i说来是有利的上行次序，对l说来是不利的上行次序；在g、f、h和u、x、y，在y、h、e和x、f、t以及在u、g、d等位置的交换比率都是一样。在y、f和d的交换比率大致相等；在h和t，以及x和g的位置也是一样。
6．以图解来研究i和l各种不同程度的需水弹性对它们之间贸易条件变化的影响，这种变化是由于i对l商品需求减少而引起的。
现在我们用图解的方法来解释上节里的问题。令f为di上的任何一点；画fe垂直于dm；在de上取一点e′，使de′＝5/6de，并画e′f′垂直线等于ef；这样，f′即是i的新需求曲线di′上的一点。因为若l以fe包提供于i市场，就将要买i的de包；但其中ee′被i政府拿去，因此将只有de′可送还给l.令di′割dl于v′；这样，v′即是新的均衡位置；同时以va代表租税，a是在通过v的一条水平线上与i′相交的一点。
画dv和da两条直线，ab垂直于dv；这样，v′就必位于直线三角形dab之内。因为和上面的情形一样，由于dl是属于正常类型，所以vv′必位于dva角之内；又由于di′是属于正常类型，所以av′也必位于dab角之内。
对i有利的贸易条件的变化，以vdv′角来表示。我们必须研究，在租税va为已知的情况下，使这个角度变大的条件是什么。很明显（若我们先把di′的形状作为已知），v′va角度越小，也就是在v附近的l的需求弹性越小，vdv′角越大。若我们再把dl的形状作为已知，那么，vav′角越大，也就是，i的需求弹性越大，vdv′角就越大。把两种结果结合起来，如租税的数额为已知，l的需求弹性越小，i的需求弹性越大，交换比率向有利于i的方向变化的幅度就越大。
进一步研究时，我们就会晓得这些条件中的第一部分较之第二部分一般说来更为重要。为了这个目的，我们把第十三图中dva的上一部分割下来，用第十四图的放大尺寸来表示。
详细研究一下我们就会注意到，当l的需求很富于弹性时，vl即是l曲线上的一部分。假定它的需求各有大、中、小三种弹性，则它将与i新曲线上的ai、ai′和aic相交。点d代表i和l的输出大大收缩，尽管贸易条件变动很小；同时租税几乎都由i来负担。t和e代表贸易只有很小的收缩，转嫁给l的租税负担则略有减少。
在g、f和h所代表的每一种情况下，租税负担要大得多，贸易的收缩要小得多；g、f和h是中等弹性的l曲线和不同弹性i曲线的交点。
第三组交点u、x和y，是弹性很小的l曲线和不同弹性i曲线的交点，它们指出l的输出几乎没有收缩，但i的输出却收缩了六分之一以上；在各种情况下，i的全部租税负担几乎都转嫁给了l.
在d、t和e的交换比率，对i的利益来说是下降的次序，g、f和h，以及u、x、y等也都一样。
l的输出对u、x、y组内每一数目几乎都一样；在第二组g、f、h的三个数目之间。l输出的差别不很大。i的输出在每一情况下都收缩六分之一以上，但除在其需求很富于弹性的时候外，不会远远超过六分之一。
下一步我们可以研究一个抽象问题，即假如对i的输入品课税，其全部税收都用在l的货物上面时，这对交换比率有什么影响；或者换一种说法，若租税以实物征收，所征收的全部l货物由政府保留，这对交换比率会发生什么影响。在这两种情况下都假定，政府对l货物的消费完全不起它在i的私人消费者手中所起的作用。